Hippokrates von Chios

Die Lebensdaten von Hippokrates sind nicht genau bekannt. Von ca. 450 - 430 v.Chr. wirkte er in Athen. Er soll die ersten Elemente der Geometrie geschrieben haben. Dabei handelt es sich um eine Zusammenstellung von einfachen Aussagen, aus denen weitere abgeleitet werden können. Er beschäftigte sich mit der Quadratur von Figuren und der Würfelverdopplung.

Bei der Quadratur geht es darum, zu einer vorgelegten Figur mit Zirkel und Lineal ein genau flächengleiches Quadrat zu konstruieren. Die Quadratur von Dreiecken und Polygonen war zur Zeit von Hippokrates schon bekannt. Ihm gelang es als erstem, ein krummlinig begrenztes Flächenstück zu quadrieren.

Das schraffierte Möndchen ist genauso groß wie das punktierte Quadrat.

Bei seinem Beweis ging Hippokrates folgendermaßen vor:

Die Flächeninhalte zweier Kreise verhalten sich wie die Quadrate der Radien. Ebenso verhalten sich die Kreissegmente zweier Viertelkreise wie die Quadrate der Radien.
Also gilt für die Flächenstücke in nebenstehender Zeichnung:

ebenso

Es ist das Fundamentale an dieser Entdeckung, dass gezeigt wird, dass ein krummlinig begrenztes Flächenstück überhaupt zu einem geradlinig begrenzten kommensurabel sein kann. Das Problem von der Quadratur des Kreises hat erst von dieser Entdeckung seinen Reiz bezogen; denn was für ein krummliniges Flächenstück gelungen war, für das denkbar einfachste krummlinige Flächenstück zu leisten, war gewiss eine verlockende Aufgabe, die durch zwei Jahrtausende viele angezogen hat (Otto Toeplitz, S. 8)
Hippokrates suchte systematisch nach weiteren Kreiszweiecken, die quadriert werden konnten. Er fand auch zwei weitere Figuren, aber es gelang ihm nicht, aus diesen Möndchen einen gesamten Kreis zusammenzubauen. Für Arpad Szabo (Arpad Szabo, S. 41) ist die Möndchenquadratur, deren Fragmente sich im Aristoteles-Kommentar des Simplicius befinden, die wertvollste Quelle der frühgriechischen Wissenschaft. Simplicius, auch Simplikios geschrieben, wirkte bis zur Schließung der Akademie 529 n. Chr. in Athen. Er kehrte 533 von Persien wieder nach Athen zurück und schrieb Kommentare zu mehreren Werken des Aristoteles, die viele wichtige historische Angaben enthalten.

Die nächste Quadratur einer krummlinig begrenzten Fläche gelang erst knapp 200 Jahre nach Hippokrates. Archimedes konnte 260 v.Chr. beweisen, dass jedes Parabelsegment des umspannten Dreiecks ist.

Erst weitere 1880 Jahre später, um 1630 gelang es Cavalieri, dieser Entdeckung weitere zur Seite zu stellen. Er berechnete Parabelsegmente für Parabeln dritten bis neunten Grades. Im 19. Jahrhundert wurde gezeigt, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich ist, da ist eine transzendente Zahl ist.

Hippokrates von Chios darf nicht verwechselt werden mit dem etwa gleichzeitig lebenden Arzt Hippokrates von Kos, nach dem der ärztliche Eid (Berufseid des Arztes, niemals keimendes Leben zu töten, noch tötlich wirkende Mittel zu verabreichen, selbst wenn er darum gebeten wird) benannt ist.

Quellen: Otto Toeplitz: Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Darmstadt 1972
Arpad Szabo: Entfaltung der griechischen Mathematik. Mannheim 1994