Mathematik

 

 

Wochenstunden

Klasse 5 6 7 8 9 10
Wochenstunden 4 4 4 4 bzw. 3* 3 3

 

 

Jahrgangsstufe 11 12 13
Wochenstunden im Grundkurs 3 3 3
Wochenstunden im Leistungskurs** - 5 5

*) Für Schülerinnen und Schüler mit 12-jähriger Schulzeit. Hinzu kommen fachbezogene Ergänzungsstunden zur individuellen Förderung.

**) ab Jgst. 12

 

Außerdem können interessierte Schülerinnen und Schüler die Fächerkombination Mathematik/Informatik als zusätzliches Angebot im Wahlpflichtbereich der differenzierten Mittelstufe (Klassen 9 und 10) wählen.

 

Jahrgangsstufe 9 10
Wochenstunden im Wahlpflichtbereich 3 3

                                                                                                                                                                                    

Fachkonferenzvorsitzender: Frau Dreseler

 

Am Annette-von-Droste-Hülshoff-Gymnasium wird seit einigen Jahren der Computer verstärkt in den Mathematikunterricht einbezogen. Die folgenden Beiträge berichten von unseren Erfahrungen. Die weiteren Beiträge befassen sich mit der Mathematik-Olympiade sowie mit den seit dem Schuljahr 1999/2000 obligatorischen Parallelarbeiten.

 

Mathematikunterricht mit Computeralgebrasystemen

Mathematikunterricht mit CABRI II

Wettbewerbe

Aufgabenbeispiele für die Jahrgangsstufe 10

 

 

 

 

Mathematikunterricht mit Computeralgebrasystemen

am Annette-von-Droste-Hülshoff-Gymnasium

Am Annette-von-Droste-Hülshoff-Gymnasium wird schon seit mehreren Jahren in einigen Mathematikkursen der Oberstufe und nun auch vereinzelt in der Sekundarstufe I der Computer eingesetzt. Das Computeralgebrasystem DERIVE und ein Klassensatz TI 92 stehen den LehrerInnen und SchülerInnen hierfür zur Verfügung.

Zur Vorgeschichte:

Seit August 1997 nimmt das Annette-von-Droste-Hülshoff-Gymnasium am Schulversuch des Landes Nordrhein-Westfalen teil, der die Erprobung von Computeralgebrasystemen im Mathematikunterricht der Oberstufe zum Thema hat. Im Jahr 1998 wurde ein Leistungskurs Mathematik unter Leitung von Herrn Laakmann zum Abitur geführt, der in den Jahrgangsstufen 12 und 13 die Anwendung eines Computeralgebrasystems in den Unterricht einbezogen hat. In der jetzigen Jahrgangsstufe 12 (1999/2000) wird ein Leistungskurs Mathematik von Herrn Laakmann geführt, in dem jeder Teilnehmer ständig über einen TI 92 verfügt, so dass auch Hausaufgaben und Klausuren mit dem Algebrasystem durchgeführt werden können.

Für den Regierungsbezirk Münster betritt das Annette-von-Droste-Hülshoff-Gymnasium mit Genehmigung des Fachdezernenten damit Neuland.

Titel der folgenden Internetseiten sind:

Vorbereitung eines solchen Unterrichtsvorhabens

Leistungsfähigkeit eines Computeralgebrasystems und Anwendungsmöglichkeiten

Gestaltungsmerkmale des Unterrichts

Unterrichtsbeispiele und Klausuraufgaben

Links zu weiteren Internetseiten

Für Fragen, Mitteilungen und Anregungen steht Ihnen Herr Laakmann gerne zur Verfügung

e-mail Adresse: hlaakmann@t-online.de

 

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1. Vorbereitung eines solchen Unterrichtsvorhabens

Während die Voraussetzungen für einen Unterricht mit dem Computersystem DERIVE leicht zu beschaffen sind - die Schule muss lediglich über einen Computerraum verfügen und eine Schullizenz für DERIVE kaufen (Kostenpunkt: 798.-DM) – gestaltet sich die Ausstattung eines Leistungskurses mit einem TI 92 für jeden Teilnehmer als ein größeres Problem. Jeder Rechner schlägt mit mehr als 330.-DM zu Buche, und bei der angespannten finanziellen Situation der Schulen stellt dies eine erhebliche Hürde dar. Sponsoren zu finden war damit die erste Überlegung und viele Briefe wurden an verschiedenste Wirtschaftsunternehmen in Münster geschickt. Das Ergebnis war wenig ermutigend. Lediglich die Sparkasse Münster stellte einen namhaften Betrag zu Verfügung und ein weiter Rechner wurde von der Volksbank Münster gestiftet. Außerdem förderten der Ehemaligenverein und der Förderverein des Annette-von-Droste-Hülshoff- Gymnasiums das Anliegen und so konnten im Februar 1999 zwanzig Rechner angeschafft werden.

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2. Leistungsfähigkeit eines Computeralgebrasystems und Anwendungsmöglichkeiten

Professionelle Texterstellung und Textverarbeitung sind heute ohne Textverarbeitungssysteme nicht mehr denkbar. Formatieren, Rechtschreibeprüfung, Absatzgestaltung, Gliederung u.a. sind wichtige Hilfen, die durch das System erledigt werden. Ähnliches gilt für die Mathematik und die Computeralgebrasysteme. Lästige Rechnungen, aber auch komplizierte Berechnungen übernimmt das System und der Benutzer kann sich auf die "eigentliche Mathematik" konzentrieren.

Einige Einsatzmöglichkeiten mögen dies erläutern.

Für die Klassen 5-7 gibt es nur wenige Möglichkeiten. Hier kann ein Computeralgebrasystem als Taschenrechner eingesetzt werden, ist jedoch für diese Jahrgangsstufen überdimensioniert. Lediglich im Bereich der Primfaktorzerlegung zeigen sich Anwendungsmöglichkeiten. So können beliebige natürliche Zahlen in ihre Primfaktordarstellung zerlegt und Primzahlen gefunden und ihre Verteilung untersucht werden.

Ein schönes Primzahlzwillingspaar, das mit DERIVE gefunden wurde ist 99998999999 und 99999000001.

In der Mittelstufe ergeben sich schon größere Anwendungsgebiete.

Computeralgebrasysteme können symbolisch rechnen und Termumformungen übernehmen.

z. B das Ausmultiplizieren von Klammern

3 (2x2 + 3x – 2)2

DERIVE schreibt die Lösungen immer in die nächste Zeile, so dass folgender Bildschirmausdruck erscheint:

 

 

 

 

.

 

 

Die Systeme können auch Gleichungen – nicht nur lineare – und Gleichungssysteme mit beliebig vielen Unbekannten lösen.

Wir lösen die Gleichung 2x2 – 3x - 9=4.

 

 

 

 

 

 

 

Die Systeme können dies per Knopfdruck, wenn nur das Ergebnis interessant ist. Man kann jedoch auch die notwendigen Schritte von den Schülerinnen und Schülern einzeln durchführen lassen, so dass das Verfahren im Mittelpunkt steht und Rechenfehler ausgeschaltet werden.

Weitere mögliche Anwendungsgebiete liegen in der graphischen Darstellung von Funktionen. Hier bieten sich Möglichkeiten, schnell graphische Darstellungen von Funktionen zu sehen, Vergleiche durchzuführen, Eigenschaften zu erkennen, Vermutungen zu äußern und zu beweisen und vieles andere mehr. Das visuelle Lernen durch die Darstellung von Graphen erfährt hier ungeahnte Möglichkeiten.

 

 

 

 

 

 

Darstellung der Graphen von sin(k*x) für k=-2,-1,0,1 und 2

Bei aller Euphorie erscheint ein durchgängiger Einsatz eines Computeralgebrasystems in der Mittelstufe nicht wünschenswert. Ein sporadischer Gebrauch dieses mathematischen Werkzeugs wird jedoch auch von den Richtlinien empfohlen.

Das zentrales Anwendungsgebiet ist zweifelsfrei der Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Hier kann ein Computeralgebrasystem - z.B. der TI92 - ständig verfügbar sein, sollte jedoch zumindest in weiten Teilen eingesetzt werden. Die neuen Richtlinien für die Oberstufe fordern auch den Einsatz von Computeralgebrasystemen in der Oberstufe.

Einfache Differential- und Integralrechnungen, die Ermittlung von Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten und die Kurvendiskussionen stellen in der Berechnung häufig keine oberstufengemäße Anforderung dar. Hierbei wird ein Algorithmus eingesetzt, der in der Mittelstufe seinen Ursprung hat. DERIVE und andere Computeralgebrasysteme kürzen diese Rechnungen ab und geben somit Zeit für weitere mathematische Betrachtungen.

Ein Beispiel aus einer Klausuraufgabe, die aus einer Unterrichtsreihe über Differenzialgleichungen stammt und das logistische Wachstum untersucht, soll die Veränderungen, die sich mit dem Einsatz eines Computeralgebrasystems ergeben verdeutlichen.

Die Funktion f(t)= beschreibt das Wachstum eines Waldes. Dabei ist t die Zahl der seit 1990 vergangenen Jahre und f(t) gibt den Holzbestand (in m3) im Jahr 1990+t an.

Bestimme das Jahr, in dem der Holzzuwachs am größten ist.

Wie groß ist er in jenem Jahr?

Wenn der Wald nur noch einen jährlichen Zuwachs von 25m3 hat, soll er abgeholzt werden. In welchem Jahr geschieht das, und wie groß ist der mögliche Holzeinschlag?

 

Für den Aufgabenteil a) sind die Wendestellen von f zu bestimmen (größte Steigung des Zuwachses). Hierzu müssen die Nullstellen der zweiten Ableitung gesucht werden, die, eingesetzt in die dritte Ableitung, einen negativen Funktionswert ergeben müssen.

Für b) bestimmt man die Differenz der Funktionswerte von f an den benachbarten ganzen Zahlen der Wendestelle.

Für c) ist die Gleichung f´(x) = 25 zu lösen und das Ergebnis in die Ausgangsfunktion f einzusetzen.

Die Aufgabe erfordert neben der mathematischen Durchdringung einen sicheren Umgang im Umformen algebraischer Terme, und dem Lösen von Gleichungen und zudem wird ein größerer Zeitaufwand durch die umfangreichen Berechnungen benötigt.

Mit DERIVE sieht eine Bearbeitung dieser Aufgabe folgendermaßen aus:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In #1 wird die Funktion f definiert und in #2 die zweite Ableitung gebildet. DERIVE schreibt das Ergebnis in #3 .In #4 wird die Nullstelle der zweiten Ableitung gefordert, die in #5 als mögliche Wendestelle erscheint.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In #6 ruft man die 3. Ableitung auf, die in #7 ausgegeben wird und setzt in #8 die mögliche Wendestelle aus #5 ein. Der approximierte Funktionswert erscheint in #9. Da er negativ ist, befindet sich an der Stelle x=9,9021 die maximale Steigung von f. Für den Holzzuwachs berechnen wir den Unterschied zwischen dem Holzbestand des 9. und des 10. Jahres (#10), der nach #11 174,946m3 beträgt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Für b) berechnet man:

In #12 wird die erste Ableitung gebildet, die in #14 nach 25 aufgelöst werden soll. In #15 erscheinen die beiden möglichen Lösungen, wobei für die Aufgabe nur die positive Zahl eine Relevanz hat. 56,4251 Jahre nach 1990, also im Jahre 2046 wächst der Wald nur noch um 25m3, so dass er abgeschlagen werden kann.

 

 

 

56 Jahre nach 1990 beträgt der Holzbestand 9618.32m3 ( nach #17)

 

Überlässt man einem Computeralgebrasystem diese Berechnungen, so verringert sich der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe erheblich und es ergeben sich viele Möglichkeiten bzw. Notwendigkeiten, Mathematikunterricht anders zu gestalten, neue Wege zu gehen, empirische Methoden stärker einzusetzen, Modellierungen realer Gegenstände und Prozesse durchzuführen und Blickrichtungen umzukehren. Wie für den Analysisunterricht gilt dasselbe auch für den Stochastikunterricht und die Lineare Algebra.

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3. Gestaltungsmerkmale des Unterrichts

Der Mathematikunterricht mit DERIVE im Computerraum und erst recht mit einem TI 92 für jeden Schüler unterscheidet sich vom herkömmlichen Unterricht in vielerlei Hinsicht. Die Aufgabenstellungen werden von Beginn an realitätsbezogener und nehmen die Umwelt mit in den Unterricht. Die Möglichkeit, Alltagsgegenstände und -prozesse zu "mathematisieren" nimmt zu und wird Teil des Unterrichts. Die Schwerpunkte verlagern sich dementsprechend: die Bedeutung der Rechenalgorithmen nimmt weiter ab, dafür tritt die Modellierung und die Ermittlung eines Rechenweges in den Vordergrund.

Der Unterricht kann auch stärker visuell ausgerichtet werden. Dadurch, dass Funktionsgraphen auf Knopfdruck sichtbar werden, steht das Finden von Eigenschaften verschiedener Funktionen, das Vermuten und Beweisen von Zusammenhängen mehr im Blickpunkt.

Die Themen und Inhalte fordern geradezu einen verstärkten Einsatz von Partner- und Gruppenarbeit. Ideen können in kleineren Gruppen schneller entstehen, ausgebaut oder verworfen werden.

Die Aufgabenstellungen können weiter gefasst sein, da sich viele Hypothesen schnell überprüfen lassen.

Der Begriffsbildung kommt eine verstärkte Bedeutung zu, während die herkömmlichen Aufgabenstellungen wie z. B. die Kurvendiskussionen zurücktreten oder ganz entfallen.

All dies bedeutet nicht, dass der Mathematikunterricht ohne Computereinsatz qualitativ schlechter ist. Auch hier sind die wichtigen Lernziele der Oberstufe vollständig erreichbar und werden auch erreicht. Der Mathematikunterricht mit dem Computer bietet jedoch mehr Zeit für die "eigentliche Mathematik" und gibt dem Fach mehr Möglichkeiten, anwendungsorientiert, aktiv und selbständig zu arbeiten.

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4. Unterrichtsbeispiele und Klausuraufgaben

An einigen Beispielen aus der Jahrgangsstufe 11.2 und 12.1 soll exemplarisch die Arbeitsweise mit dem TI 92 verdeutlicht werden.

Einführung der Tangentensteigung.

Mit dem Geometrieprogramm Cabri haben wir in 11.1 die ab Schuljahr 1999/2000 geforderte Koordinatengeometrie durch die Zeichnung und Berechnung eines Hühnereis abgehandelt. Dabei wird der Querschnitt des Hühnereis durch Kreisbögen gebildet, die einen "knickfreien" Übergang liefern. Da an den Übergangsstellen die Tangenten der verschiedenen Kreise gleich sind, ist die "Knickfreiheit" kein Problem. Anders verhält es sich, wenn wir zwei Funktionen aneinanderketten.

 

 

 

 

 

 

 

Hier:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hier:

 

 

 

Warum ist im ersten Beispiel an der Übergangsstelle 1 ein Knick, im zweiten aber nicht?

Die zentrale Fragestellung, die sich daraus entwickelt, lautet: Was wollen wir unter einer Steigung einer Funktion f an der Stelle a verstehen?

Wie im herkömmlichen Unterricht entwickelt man ohne Rechner das bekannte Verfahren und gelangt über die Steigungen der Sekanten, als erste Approximationen der Steigung der Funktion und einem anschließenden Grenzwertprozess zur Tangentensteigung an der Stelle a.

Da wir den TI 92 einsetzen wollen, führen wir diese Begriffsbildung mit einer allgemeinen Funktion f durch und erarbeiten anschließend eine "black box", die zu einer beliebigen Funktion f und zwei beliebigen Punkten (a/f(a)) und (b/f(b)) zunächst die Steigung der Sekante berechnet und anschließend die Steigung der Tangente an der Stelle a. Wir verzichten dabei bewusst auf das algorithmische Rechnen. Es werden weder Polynomdivisionen noch andere Termumformungen durchgeführt, sondern wir konzentrieren uns an dieser Stelle ausschließlich auf die Begriffsfindung.

Bei der Erstellung der "black box" benutzen wir die Möglichkeit, mit dem TI 92 Funktionen selbst zu definieren und symbolisch zu rechnen.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zur Erklärung der Bildschirme: links stehen die eingegebenen, rechts die vom TI 92 umgewandelten Ausdrücke. Der Pfeil bedeutet eine Definitionszuweisung.

Wir sehen, dass die Steigung an der Stelle 1 für f(x) = x2 den Wert 2 hat, ebenso für die Funktion . Für f(x)=4x-3 ergibt sich jedoch die Steigung 4, so dass es hier zu einem Knick an der Übergangsstelle kommt.

Wie berechnet man die Steigung der Tangente an einer beliebigen Stelle a?

Auch dazu hilft unsere selbstdefinierte Funktion und wir erhalten.

 

 

 

 

 

 

 

Nun können die SchülerInnen weitere Funktionen untersuchen und versuchen, Regeln für die Steigung von f an der Stelle a zu finden und zu formulieren. Dabei können alle Funktionen benutzt werden, die aus der Sekundarstufe 1 bekannt sind, auch Potenz-, Exponential- und trigonometrische Funktionen. Die SchülerInnen erstellen mit Hilfe ihrer selbstdefinierten Funktion Steigung(a) eine Liste und entdecken Regelmäßigkeiten, die sie in Sätzen formulieren.

Erst nach dieser Unterrichtsphase wird die im TI 92 vordefinierte Funktion d(f(x),x) bzw. die entsprechende Schaltfläche freigegeben.

 

Beispiele für Klausuraufgaben mit dem Einsatz eines Computeralgebrasystems

Die erste Aufgabe zeigt eine relativ einfache Anwendung, die speziell für den Einsatz des TI92 geeignet ist.

Voraussetzung für diese Aufgabe ist die visuelle Vorstellung von typischen Bildern der verschiedenen Funktionsklassen und die Auswirkungen von Verschiebungen und Streckungen auf den Graphen der Funktion und den Funktionsterm. In dem ersten Bild mussten die SchülerInnen erkennen, dass es sich hierbei um eine Exponentialfunktion handelt, die in y-Richtung um –2 verschoben und zudem gestreckt wurde.

Nach diesen mathematischen Vorüberlegungen geschieht die eigentliche Ermittlung des Funktionsterms mit dem Rechner und eines im Unterricht erlernten Algorithmus. Es werden eine Reihe von Punkten des Funktionsgraphen mit dem Geodreieck ausgemessen und in eine Matrix eingegeben. Nach der Ermittlung des Maßstabes werden alle y-Werte der Matrix durch einen Rechenbefehl in die tatsächlichen Werte umgewandelt. Da die Ermittlung des Funktionsterms nur für Standardfunktionen möglich ist, müssen die y-Werte um 2 vergrößert werden, ehe der Rechner die zugrundeliegende Exponentialfunktion erarbeiten kann. Der eigentliche Funktionsterm muss nun durch die Einbeziehung der Verschiebung durch die SchülerInnen ermittelt werden. Im ersten Beispiel ergibt sich f(x)=2,2e0,6x-2

Der zweite Graph zeigt das Bild einer gespiegelten Potenzfunktion, die um –3 in x-Richtung und um +2 in y-Richtung verschobenen wurde. Mit demselben Algorithmus ergibt sich als Funktionsterm f(x) = -1,2(x+3)0,6 +2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 1: Bestimme die Funktionsterme.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Diese Aufgaben sind m.E. von Niveau und von der Idee her mit einer Kurvendiskussion zu vergleichen. Man dreht nur die Richtung um. Ziel bei der Kurvendiskussion ist die Darstellung des Graphen, hier steht die Ermittlung eines Funktionsterms im Mittelpunkt. Und während bei der Kurvendiskussion neben dem Algorithmus das sichere Rechnen überprüft wird, wird hier, neben einem Computeralgorithmus, das Erkennen und Verändern von Funktionstermen abgefragt.

 

Die zweite Aufgabe zeigt weitere Veränderungen, die sich durch den Einsatz von Computeralgebrasystemen ergeben. Die Berechnungen stehen nicht mehr im Vordergrund, sondern die Erläuterungen mathematischer Sachverhalte und die Dokumentation der Rechenwege. Klausuren ähneln dadurch mehr einem mathematischen Aufsatz, wie wir ihn aus vergangenen Jahren kennen. Ein weiterer Aspekt wird durch diese Aufgabe deutlich. Die Aufgabenstellungen müssen nicht mehr nur auf einem Blatt Papier vorgelegt, sie können auch den SchülerInnen elektronisch übermittelt werden. Dadurch können umfangreiche Datenmaterialien in einer Klausur bearbeitet werden, was besonders für den Stochastikunterricht interessant wird.

Zur Erläuterung: Splinefunktionen sind stückweise definierte Polynome dritten Grades, die vorgegebene Punkte so verbinden, dass an den Übergangspunkten die Polynome im Funktionswert, in der Steigung und in der Krümmung übereinstimmen. Vor dem ersten und nach dem letzten Haltepunkt werden die Splinefunktionen geradlinig fortgesetzt.

Durch diese Bedingungen ergibt sich ein umfangreiches Gleichungssystem (für n Punkte 4(n-1) Gleichungen), das ohne einen Computereinsatz nur schwer zu lösen ist.

Aufgabe 2:

Gegeben sind die 4 Punkte A(-1/1), B(1/3), C(3/4) und D(5/6)

Bestimme ein Polynom mit geringstem Grad, dessen Graph durch die 4 Punkte verläuft.

Erläutere, vergleichend mit a), die Idee und den Rechenalgorithmus der Spline-Funktionen.

Die Matrix Klausur gehört zum Rechenalgorithmus der Spline-Funktionen. Erläutere die Zeilen 3, 6, 8, 10 und 12.

Klausur:

-1

1

-1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

3

0

0

0

0

27

9

3

1

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

0

0

27

9

3

1

4

0

0

0

0

0

0

0

0

125

25

5

1

6

3

2

1

0

-3

-2

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

27

6

1

0

-27

-6

-1

0

0

6

2

0

0

-6

-2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

18

2

0

0

-18

-2

0

0

0

-6

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

30

2

0

0

0

 

Bestimme die Koeffizienten der Spline-Funktionen mit Hilfe der Matrix Klausur, die auf deinen Rechner übertragen wird.

In der Graphik ist das Polynom aus a) und die Splinefunktion Spline, die ebenfalls auf deinen Rechner übertragen wird dargestellt. Markiere die Funktion Spline zwischen dem 1. und 2. Stützpunkt und zwischen dem 3. und 4. Stützpunkt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wie groß ist die maximale Abweichung der beiden Funktionen im Intervall [3/5] (Tabellenwert gilt als Teillösung

Sind die Funktionen Spline und die Polynomfunktion von a) im Intervall [-1/5] symmetrisch? Begründe!

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5. Links zu weiteren Internetseiten

Im Internet findet man unter dem Stichwort DERIVE eine Fülle von Informationen.

Speziell auf den Unterricht abgestimmte Materialien stellt der Learn-Line-Server in Soest zur Verfügung. Adresse: http://www.learn-line.nrw.de Hier wählt man Faecher, dann Mathematik, CAS, Mediothek und anschließend Unterrichtsmaterialien. Direkt kann die Mediothek erreicht werden unter http://www.learn-line.nrw.de/Faecher/Mathematik/CAS/medio.htm.

 

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Mathematikunterricht mit CABRI II

 

CABRI ist ein Programm zum Zeichnen geometrischer Figuren. Im herkömmlichen Unterricht lassen sich Figuren nachträglich nicht mehr verändern, mit CABRI ist es aber möglich, unter Beibehaltung der restlichen Konstruktion einzelne Teile zu ändern, z. B. Punkte zu verschieben. Ein weiterer Vorteil ist die Lernfähigkeit von CABRI. Wenn in einer Unterrichtsstunde der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks konstruiert wird, so kann die Konstruktion als Makro gespeichert werden; sie ist jederzeit wieder abrufbar. Auch Ortslinien können sehr schnell gezeichnet werden. Dem Unterricht in Mathematik und Physik eröffnen sich durch das schnelle Konstruieren vieler Figuren und das mühelose Experimentieren völlig neue Ansätze.

Die folgende Figur zur Eulerschen Geraden entstand mit CABRI im Differenzierungsbereich der Jahrgangsstufe  10. Sie können das Dreieck verändern, indem Sie die Ecken mit der Maus bewegen. Höhenschnittpunkt H, Schwerpunkt S und Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten folgen dann entsprechend.
 

CABRI-Figur als Java-Applet

 

 

 

Viele weitere Beispiele finden Sie auf der Webseite von CABRI, zum Beispiel einen modernen Beweis des Satzes von Pythagoras.

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Wettbewerbe

 

Seit vier Jahren beteiligt sich die Schule an der Mathematik-Olympiade. Die erste Runde der Olympiade findet im September als Hausaufgabenwettbewerb statt. In der zweiten Runde wird eine Klausur geschrieben. Diese Klausur richtet das Annette-von-Droste-Hülshoff-Gymnasium an einem Samstag im November für alle Schulen in Münster aus. Auf dem Foto sehen Sie SchülerInnen der Sekundarstufe I bei der Arbeit.

Für Klasse 6 war zum Beispiel folgende Aufgabe vorgesehen:


Patricia hat Würfel gleicher Größe und will daraus Quader bauen. Für jeden Quader sollen alle vorhandenen Würfel verwendet werden. Jeder Quader soll vollständig mit Würfel ausgefüllt sein, er darf also im Innern keinen Hohlraum enthalten.

a)    Wie viele verschiedene Quader kann sie aus sechs dieser Würfel bauen?
b)    Wie viele verschiedene Quader kann sie aus zwölf dieser Würfel bauen?
c)    Wie viele verschiedene Quader kann sie aus 36 dieser Würfel bauen?

Fünf SchülerInnen konnten sich im November für den Landeswettbewerb Mathematik 2000 qualifizieren, der am Samstag, dem 26. Februar 2000, in Siegen stattfand. Besonders erfolgreich schnitten Katharina Staib von der Marienschule, Timon Hilker vom Gymnasium Wolbeck und Christopher Chrighton vom Annette-Gymnasium ab. Christopher (auf dem Foto zweiter von links) war bereits zum dritten Mal beim Landeswettbewerb erfolgreich!

Weitere Informationen erhalten Sie vom Regionalkoordinator Herrn Dr. Hiepko (hiepko@t-online.de) oder über den Landesverband Mathematikwettbewerbe.
 

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Aufgabenbeispiele für die Jahrgangsstufe 10

 

Im Rahmen der Qualitätsentwicklung und Qualitätssicherung sollen einige Beispiele von Aufgaben genannt werden, deren Bearbeitung auch in Parallelarbeiten der Klasse 10 in Frage kommt.
 

Ein Vorschlag des Ministeriums MSWWF

Beim Kugelstoßen lässt sich die Bahn einer Kugel  durch die Gleichung y= - 0,1x2 + x +2 beschreiben, wobei x bzw. y die Entfernung (in Meter) in horizontaler bzw. vertikaler Richtung ist.
a) Stelle eine Wertetabelle auf und skizziere die Bahnkurve.
b) Welche Höhe erreicht die Kugel maximal?
c) Wie weit fliegt die Kugel?

Beispiele aus aktuellen Klassenarbeiten

Zehn Kugeln mit Radius  5 mm werden zu einer großen Kugel umgeschmolzen.
Welchen Radius hat die große Kugel? Um wie viel Prozent nimmt die Gesamt-Oberfläche dabei ab?

Ein Gasometer ist zylinderförmig  mit einer Höhe von 90 m und einem Radius von 28 m.
Eine Malerfirma streicht in einer Stunde 50 Quadratmeter an. Wie lange dauert eine Neubeschichtung des Mantels?
Es soll ein Glaszylinder hergestellt werden, der ein Fassungsvermögen von 2 Litern hat,   wenn er bis 1 cm unter dem Rand gefüllt  wird.  Das Glas soll - am Boden und am Rand - eine Dicke von 5 mm  aufweisen.
Berechne die Außenmaße des Behälters für einen Innenradius  von  8 cm! Wie viel Glas wird für den Behälter benötigt?
Eine Aufgabe aus der ersten Parallelarbeit

a) Bestimme die Lösungen von     7x = 15   und   3.52x = 4x-1    mit einer Genauigkeit von 4 Nachkommastellen.
b) Ein Kapital von 15000 DM wird mit dem Zinssatz 3,75% verzinst. 
Wie hoch ist das Kapital nach 6 Jahren? Wann hat es sich verdoppelt?
c) Ein Kapital von 20000 DM wächst innerhalb von 5 Jahren auf  25000 DM an. Berechne den Zinssatz!


 

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